Département de Mathématiques, Université Paris 13

Laboratoire d'Analyse, Géométrie et Applications, UMR 7539

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Journées d'Arithmétique, Géométrie et Topologie

À l'occasion du soixantième anniversaire de Larry Breen

15 au 17 Décembre 2004

Institut Galilée, Université Paris 13, France

Le 18 juillet 2004, Larry Breen aura soixante ans. Professeur à l'Université de Paris 13 depuis octobre 1988, il a grandement contribué à l'essor du laboratoire de Mathématiques. Sous sa direction, le Laboratoire a atteint sa maturité, ses activités se sont vivement développées et il a fortement accru son rayonnement international.

Tout au long de son oeuvre mathématique, Breen s'est attaché à la compréhension de questions de nature cohomologique à la frontière de la géométrie algébrique et de la topologie algébrique. Ses travaux ont eu beaucoup d'applications profondes en arithmétique, géométrie algébrique, topologie algébrique et théorie des catégories. Souvent, un même résultat a trouvé des applications dans plusieurs domaines. Ainsi ses premiers travaux, désormais classiques, sur le calcul des groupes d'extensions supérieurs se sont avérés très utiles tant en géométrie algébrique (dualité plate pour les surfaces) qu'en topologie (cohomologie de Mac Lane).

Dans un travail ultérieur en collaboration avec P. Berthelot et W. Messing, il a développé la théorie de Dieudonné cristalline, amorcée par A. Grothendieck. Le point de vue de ces auteurs a depuis été universellement adopté et a servi à des applications importantes (théorème de pleine fidelité de Tate en égale caractéristique, théorème de J. de Jong, classification des schémas en groupes finis et plats sur les traits par C. Breuil, etc...).

Les notions qu'on lui doit frappent souvent par leur pertinence et leur simplicité. C'est notament le cas du concept de torseur cubiste, qui généralise l'interprétation cohomologique des biextensions due à Grothendieck et les travaux de I. Barsotti et D. Mumford sur les fonctions thêta algébriques. Depuis, ces objets sont devenus essentiels dans l'étude des dégénérescences des variétés abéliennes et des compactifications de leurs espaces de modules, et ont aussi trouvé des applications aux équations de Korteweg-de Vries et aux espaces de lacets.

Depuis longtemps, Breen s'est intéressé à la compréhension, d'un point de vue géométrique, de la cohomologie supérieure à coefficients non-abéliens dans un cadre très général, et inversement à celle de notions géométriques d'un point de vue cohomologique ou homotopique. Dans son travail qui étend la thèse de J. Giraud, il a su dégager la bonne notion de $H^2$ non-abélien en remplaçant le groupe de coefficients $G$ par le module croisé $[G\rightarrow {\rm Aut}(G)]$. Il a montré que le champs associé à ce module croisé est le gr-champs des $G$-bitorseurs et que le bon $H^2$ non-abélien classifie les "torseurs" sous ce gr-champs. C'est pour poursuivre ces idées et analogies que Breen a introduit et étudié les 2-gerbes et les applications aux 2-champs. Ces nouveaux concepts interviennent dans la théorie de Langlands (notament dans l'approche de J.-P. Labesse pour la stabilisation de la formule des traces) et dans des travaux de physique théorique.

Dans un travail récent avec Messing, il a donné une nouvelle interprétation en géométrie algébrique du calcul différentiel ($n$-forme différentielle, complexe de de Rham à valeur dans un groupe). Dans un travail ultérieur également avec Messing, il a développé un calcul différentiel global pour des gerbes (connexion, courbure et identité de Bianchi supérieure), qui étend celui dû à J.-L. Brylinski pour les gerbes abéliennes.

À l'image de l'oeuvre de Larry Breen, cette conférence mêle Arithmétique, Géométrie et Topologie. Elle se veut une célébration d'une carrière riche, émaillée de collaborations fortes et d'implications importantes dans la vie de la communauté mathématique et de celle de l'Université Paris 13.